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复合函数的单调性的研究

发布时间:2019-12-10 16:47:45? 文章来源:/? 作者:金编辑? 阅读:次


襄阳职业技术学院公共课部 杨昌海 441022


摘要:函数单调性是函数的核心内容之一,也是高考中重点考查的知识,又多以考查复合函数的单调性居多. 复合函数的单调性的复合规律为:若函数y=f(u)与u=g(x)的增减性相同(相反),则y=f[g(x)]是增(减)函数,可概括为“同增异减”.[1]为了帮助考生对复合函数的单调性进一步有一个全面的认识,本文结合例题,对复合函数的单调区间的求法及单调性的应用加以归纳总结,进行全面的研究.
关键词:复合函数、函数单调性、定义域、单调递增、单调递减
正文部分
一、引言:
什么是复合函数.对于函数y=f(u) u∈B与u=g(x) x∈A,如果x∈A时u=g(x)的值域C与函数y=f(u)的定义域B的交集非空,即C∩B≠φ,那么就说y=f(u) u∈B与u=g(x) x∈A可以复合,称函数y=f(g(x))叫做y=f(u) u∈B与u=g(x) x∈A的复合函数,其中y=f(u)叫做外函数,u=g(x)叫做内函数.
比如, (x∈R)的复合函数是u=-X2 ∵u=-x2≤0与u≥0的交集为{0},∴二者可以复合,但定义域发生了变化,复合后的函数的定义域既不是u≥0,也不是x∈R, 而是x=0.也就是说复合函数的定义域既受外函数的制约也受内函数的制约(主要受外函数的制约).由定义知道 就不能复合成f(g(x)).

二.复合函数单调性的判断总体步骤:
复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断:
(1) 将复合函数分解成两个简单函数:y=f(u)与u=g(x).其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数;
(2) 确定函数的定义域;
(3) 分别确定分解成的两个函数的单调性;
(4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数,或都是减函数),则复合后的函数y=f[g(x)]为增函数;
(5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数,而另一个是减函数),则复合后的函数y=f[g(x)]为减函数.
复合函数的单调性可概括为一句话:“同增异减”.[2]
三.详细分析
3.1观察下面两组在相应区间上的函数,然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么?
第一组:


第二组:


显然第一组函数,函数值y随x的增大而增大;第二组组函数,函数值y随x的增大而
减小.
这正是两组函的主要区别.当x变大时,
第一组函数的函数值都变大,而第二组函数的函数值都变小.虽然在每一组函数中,函数值变大或变小的方式并不相同,但每一个函数却具有一种共同的性质.

本文来源:复合函数的单调性的研究:/lunwen/5410.html

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